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\programme{navsto}

\vspace{1cm}
On s'int\'eresse \`a la r\'esolution du syst\`eme d'\'equations de Navier-Stokes
tridimensionnelles monophasiques, \`a une pression, instationnaires, en
incompressible ou faiblement dilatable, bas\'ees sur une discr\'etisation
temporelle de type Euler implicite d'ordre 1 ou Crank-Nicolson d'ordre 2 et sur
une discr\'etisation spatiale  par volumes finis colocalis\'ee.


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\section{Fonction}
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  Dans ce sous-programme sont calcul\'ees, \`a un pas de temps donn\'e, les
variables vitesse et pression de ce probl\`eme en proc\'edant en
deux  \'etapes issues d'une d\'ecomposition des op\'erateurs (m\'ethode \`a
pas fractionnaires).\\
Les variables sont donc suppos\'ees connues \`a
l'instant ${t^n}$ et on cherche \`a les d\'eterminer \`a l'instant\footnote{La pression est supposée connue à l'instant $t^{n-1+\theta}$ et recherchée en $t^{n+\theta}$, avec $\theta=1$ ou $1/2$ suivant le schéma en temps considéré.} ${t^{n+1}}$. Soit ${\Delta {t^n} ={t^{n+1}- {t^n}}}$ le pas de temps associ\'e. Dans un premier temps, on r\'ealise l'\'etape de
pr\'ediction de la vitesse en r\'esolvant l'\'equation de quantit\'e de
mouvement avec une pression explicite. Suit l'\'etape de correction de la
pression (ou projection de la vitesse) qui permet d'obtenir un champ de vitesse \`a divergence nulle.\\\\
Les \'equations en continu sont donc :
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho \vect{u}) + \dive(\rho\, \vect{u} \otimes \vect{u})
=\dive(\tens{\sigma}) + \vect{TS} - \tens{K}\,\vect{u}\\
\dive(\rho \vect{u}) = \Gamma
\end{array}\right.
\end{equation}

%(plus tard $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \dive(\rho \vect{u}) = \Gamma$)



avec $\rho$ la masse volumique, $\vect{u}$ le champ de vitesse,
$[\,\vect{TS}-\tens{K}\,\vect{u}\,]$ les autres termes sources ($\tens{K}$~est un
tenseur diagonal positif par d\'efinition), $\tens{\sigma}$ le tenseur
de contraintes, $\tens{\tau}$ le tenseur des contraintes visqueuses, $\mu$ la
viscosit\'e dynamique (mol\'eculaire et \'eventuellement turbulente), $\kappa$
la viscosité de
volume (usuellement nulle et négligée dans le code et dans la suite du document,
sauf en compressible),
$\tens{D}$ le tenseur taux de d\'eformation\footnote{\`A ne pas confondre, malgr\'e la m\^eme notation $D$,
avec les flux diffusifs $\vect{D}_{\,ij}$ et $\vect{D}_{\,{b}_{ik}}$ d\'ecrits par la suite dans ce
sous-programme.}, $\Gamma$ le terme source de masse.
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\tens{\sigma} = \tens{\tau} - P\tens{Id}  \\
\tens{\tau} = 2\,\mu\ \tens{D} +\ (\kappa\ - \frac{2}{3}\mu)\  tr({\tens{D}})\
\tens{Id}  \\
\tens{D} = \frac{1}{2}(\ggrad\vect{u}+\,^{t}\ggrad\vect{u})
\end{array}\right.
\end{equation}
 \\

On rappelle la d\'efinition des notations employ\'ees\footnote{en
utilisant la convention de sommation d'Einstein.}~:
\begin{equation}\notag
\left\{\begin{array}{lll}
\left[\ggrad{\vect{a}}\right]_{ij} &=& \partial_j a_i\\
\left[\dive(\tens{\sigma})\right]_i &=& \partial_j \sigma_{ij}\\
\left[\vect{a}\otimes\vect{b}\right]_{ij} &= &
a_i\,b_j\\
\end{array}\right.
\end{equation}
et donc :
\begin{equation}\notag
\begin{array}{lll}
\left[\dive(\vect{a}\otimes\vect{b})\right]_i &= &
\partial_j (a_i\,b_j)
\end{array}
\end{equation}

\minititre{Remarque}
Dans le cas de la prise en compte d'une masse volumique variable, l'équation de continuité s'écrit :
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \dive{\,(\rho\,\vect{u})} = \Gamma  $$
Cette équation n'est pas prise en compte dans l'étape de projection (on continue à résoudre
seulement
$\displaystyle \dive(\,{\rho\,\vect{u}}) = \Gamma$) alors que le terme
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}$ appara\^{\i}t lors de l'étape de pr\'ediction de la vitesse
dans le sous-programme \fort{preduv}. Si ce terme joue un rôle sensible, l'algorithme compressible
de \CS (qui résout l'équation complète) est alors sans doute plus adapté.

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\section{Discr\'etisation}
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On pose :

\begin{equation}\notag
\displaystyle\alpha_{ij}=\frac{\overline{FJ'}}{\overline{I'J'}} \text{\ d\'efini aux faces internes uniquement et}
\end{equation}
\begin{equation}\notag
\vect{u}_{K'} = \vect{u}_{K}+(\ggrad{\vect{u}})_K\text{.}\, \vect{KK'}\, \text{\ \`a l'ordre
1 en espace, pour ${K = I \,\text{ou}\, J}$}
\end{equation}

\begin{figure}[h]
\hspace*{1cm}\parbox{8cm}{%
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{facette}}}
\parbox{8cm}{%
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{facebord}}}
\caption{\label{Base_Navsto_fig_geom}D\'efinition des diff\'erentes entit\'es
g\'eom\'etriques pour les faces internes (gauche) et de bord (droite).}
\end{figure}

\subsection{\bf M\'ethode \`a pas fractionnaires}
\subsubsection{\bf Introduction}
Une des m\'ethodes permettant de r\'esoudre num\'eriquement les \'equations de
Navier-Stokes est de d\'ecomposer les op\'erateurs s'y rattachant en
op\'erateurs moins complexes (qui peuvent \^etre trait\'es \`a l'aide d'algorithmes
efficaces), moyennant des sous-pas interm\'ediaires dans un m\^eme pas de
temps. Ici, deux sous-pas sont r\'ealis\'es : le premier reprend les
parties convective, diffusive et termes sources de l'\'equation de quantit\'e de mouvement et
constitue l'\'etape dite de pr\'ediction de la vitesse, le
second traite l'\'equation de continuit\'e et est
d\'esign\'e comme l'\'etape de correction de pression ou de projection de la vitesse.

\subsubsection{\bf \'Etape de pr\'ediction des vitesses}
La discr\'etisation en temps se fait en appliquant \`a la variable r\'esolue un $\theta$-sch\'ema au temps $n+\theta$ s'inspirant de la d\'emarche utilis\'ee pour l'\'equation de transport d'un scalaire\footnote{cf. \fort{covofi}}.\\ La vitesse au temps $n+1$ n'\'etant disponible qu'apr\`es l'\'etape de projection, c'est ici une vitesse pr\'edite au temps $n+1$ que l'on utilise pour interpoler :
\begin{equation}
\label{Base_Navsto_thetaschema}
\vect{\widetilde{u}}^{n+\theta} = \theta\, {\vect{\widetilde{u}}}^{n+1}+(1-\theta)\, \vect{u}^{n}
\end{equation}
Avec\footnote{Dans le cas où $\theta = 1/2$, le pas de temps $\Delta t$ est supposé uniforme en temps et en espace.} :
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
\theta = 1   & \text{Pour un sch\'ema de type Euler implicite d'ordre 1.}\\
\theta = 1/2 & \text{Pour un sch\'ema de type Cranck-Nicolson d'ordre 2.}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}

Le champ de vitesse ${\vect{\widetilde{u}}^{n+1}}$ pr\'edit est alors obtenu par
:\\
$\bullet\ $ Lin\'earisation partielle de l'op\'erateur de convection engendrant
un d\'ecouplage des composantes de la vitesse.\\
$\bullet\ $ Explicitation de la pression.\\
$\bullet\ $ Explicitation ou extrapolation des grandeurs physiques ({\it i.e}
$\rho,\,\mu,\,Cp\,...$) et du flux de masse.\\
$\bullet\ $ Explicitation ou extrapolation des termes sources explicites au
temps $n+\theta_{S}$ tels que les contributions du gradient transpos\'e, de la
viscosité secondaire, de la partie extradiagonale des pertes de charges, de la
masse injectée $\Gamma\,\underline{u_i}$, ...\\
$\bullet$ Les termes sources implicites linéaires par rapport à la vitesse
(termes sources utilisateurs implicite, partie diagonale des pertes de charge
$\tens{K_d}\,\underline{u}$, sources de masse $\Gamma\,\underline{u}$, etc...)
sont supposés pris au temps $n+\theta$ et sont rattach\'es au tenseur
$\tens{K}$\footnote{En réalité, les composantes de la vitesse étant découplées,
seuls les termes linéaires par rapport à la composante résolue sont factorisés de la
sorte. Les autres termes étant traités comme des termes explicites. On pourra se
rapporter à \fort{preduv} pour plus de détail.}.\\

Par souci de clarté, on suppose qu'en l'absence d'indication, les propriétes
physiques $\Phi\,=\,\rho,\,\mu\,...$ et le flux de masse $(\rho\vect{u})$ pris
respectivement aux instants $n+\theta_\Phi$ et $n+\theta_F$, où $\theta_\Phi$ et
$\theta_F$ dépendent des schémas en temps spécifiquement utilisés pour ces
grandeurs\footnote{cf. \fort{introd}}.
\\
On r\'esout donc le syst\`eme suivant, après réécriture des termes instationnaires à l'aide de la conservation de la masse :
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\rho\,\left(\displaystyle\frac{\vect{\widetilde{u}}^{n+1}-\vect {u}^{n}}{\Delta t}\right) +
\dive \,\left(\vect{\widetilde{u}}^{n+\theta} \otimes (\rho\vect{u})\right) =
\dive(\tens{\sigma}^{n+\theta})+\vect{TS}^{n+\theta_{S}}-\tens{K}^{n}\,\vect{u}^{n+\theta} +\vect{\widetilde{u}}^{n+\theta}\,\dive{(\rho\vect{u})}\\
\label{Base_Navsto_eq_prediction_continue}
\end{array}
\end{equation}
avec ~:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\tens{\sigma}^{n+\theta}=\mu\,\,\ggrad\vect{\widetilde{u}}^{n+\theta}\underbrace{-P^{n-1+\theta}\tens{Id}+(\,\mu\,\,^{t}\ggrad\vect{u})^{n+\theta_{S}}- \frac{2}{3}\,(\,\mu\, \dive\,\vect{u})^{n+\theta_{S}}\tens{Id}}_{\text{termes sources explicites}}\\
\end{array}
\end{equation}

\subsubsection{\bf \'Etape de correction de la pression (ou projection des vitesses)}
Le champ de vitesse pr\'edit est {\it a priori} \`a divergence non nulle. La seconde
\'etape corrige la pression en imposant la nullit\'e de la contrainte
stationnaire pour la vitesse prise \`a l'instant ${t^{n+1}}$.
On r\'esout donc :
\begin{equation}\label{Base_Navsto_eq_correction_continue}
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{(\rho\vect{u})^{n+1}-(\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}}{\Delta t} =
-\grad{\delta P^{n+\theta}} \\
\displaystyle
\dive(\rho\vect{u})^{n+1} = \Gamma\\
\end{array}\right.
\end{equation}

o\`u l'incr\'ement de pression $\delta P^{n+\theta}$ vaut~:
\begin{equation}
\delta P^{n+\theta}=P^{n+\theta}-P^{n-1+\theta}
\end{equation}
\minititre{Remarque}
Les quantit\'es $\rho$ et $\mu$ sont constantes lors de ces
deux \'etapes. Leur variation \'eventuelle est effectu\'ee au début du pas de temps suivant, après réactualisation des scalaires (température, fraction massique,...).

\subsection{\bf Discr\'etisation spatiale}
On int\`egre  classiquement sur les volumes de contr\^ole ${\Omega_i}$ (ou cellules) les
\'equations discr\'etis\'ees en temps.
\subsubsection{\bf \'Etape de pr\'ediction des vitesses}
\paragraph{\bf Second membre\\ }
Si l'on ne tient pas compte des termes de convection et de diffusion issus du $\theta$-schéma, les termes sources volumiques explicites de l'\'equation (\ref{Base_Navsto_eq_prediction_continue}) s'écrivent pour le syst\`eme portant sur la quantité $(\vect{\widetilde{u}}^{n+1}-\vect {u}^{n})$ :\\
\begin{equation}\notag
\begin{array}{c}
\displaystyle
 -\grad P^{n-1+\theta} + \dive \left[ (\,\mu\,\,^{t}\ggrad\vect{u})^{n+\theta_{S}}- \frac{2}{3}\,(\,\mu\, \dive\,\vect{u})^{n+\theta_{S}}\tens{Id} \,\right]+\vect{TS}^{n+\theta_{S}}- \,\tens{K}^{n} \vect{u}^{n}+\vect{u}^{n}\,\dive{(\rho\vect{u})}\\
\end{array}
\end{equation}
Pour int\'egrer ces termes sur une cellule ${\Omega_i}$,  on multiplie leur valeur locale au centre par le volume de la cellule.

\paragraph{\bf Convection  \\}

Apr\`es d\'ecomposition de $\vect{\widetilde{u}}$ \`a l'aide de la relation (\ref{Base_Navsto_thetaschema}), l'int\'egration spatiale des parties convectives   $\theta\,{\dive\left(\vect{\widetilde{u}}^{n+1}\otimes (\rho \vect{u})\right)}$ et $(1-\theta)\,{\dive\left(
\vect{u}^{n}\otimes (\rho \vect{u})\right)}$ conduit à une somme de flux num\'eriques ${\vect{F}\,_{\,ij}}$ calcul\'es aux faces des cellules purement internes et de flux num\'eriques ${\vect{F}_{\,b_{ik}}}$ calcul\'es aux faces de bord du domaine $\Omega$.
Soient $Vois(i)$ l'ensemble des centres des cellules voisines de ${\Omega_i}$ et
$\gamma_b(i)$ l'ensemble des centres des faces de bord de ${\Omega_i}$, on a :

\begin{equation}\notag
\int_{\Omega_i}{\dive\left(\vect{u}\otimes (\rho \vect{u})\right)\, d\Omega} =
\sum_{j\in Vois(i)}{\vect{F}_{\,ij}((\rho \vect{u}), \vect{u})} \\
+\sum_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{F}_{\,{b}_{ik}}((\rho \vect{u}),\vect{u})}
\end{equation}

en posant :
\begin{equation}
\vect{F}_{\,ij}((\rho \vect{u}), \vect{u}) = \left[{(\rho \vect{u})_{\,ij}} \text{.}\, \vect{S}_{\,ij}\right]
\ \vect{u}_{\,f,ij}
\end{equation}

\begin{equation}
{\vect{F}_{\,{b}_{ik}}}((\rho \vect{u}),\vect{u}) =  \left[{(\rho \vect{u})_{\,{b}_{ik}}} \text{.}\, \vect{S}_{\,{b}_{ik}}\right]\,{\vect{u}_f}_{\,{b}_{ik}}
\end{equation}
La valeur de ${\vect{F}_{\,ij}}$  d\'epend du type de sch\'ema num\'erique
choisi. Il en existe trois dans \CS \  :
\begin{tabular}{ll}
\multicolumn{2}{l}{$\bullet\ $un sch\'ema d\'ecentr\'e amont d'ordre 1 (upwind)~:}\\
&$\vect{F}_{\,ij}((\rho \vect{u}), \vect{u})=
\vect{F}^{\it{ amont}}_{\,ij}((\rho \vect{u}),\vect{u})$\\
o\`u :&$\vect{u}_{\,f,ij}=\vect{u}_{\,I}$ si $(\rho
\vect{u})_{\,ij}.\vect{S}_{\,ij}\,\geqslant 0$\\
&$\vect{u}_{\,f,ij}=\vect{u}_{\,J}$ si $(\rho
\vect{u})_{\,ij}.\vect{S}_{\,ij}\,< 0$ ,\\
\multicolumn{2}{l}{$\bullet\ $un sch\'ema centr\'e d'ordre 2:}\\
&$\vect{F}_{\,ij}((\rho \vect{u}), \vect{u})=
\vect{F}^{\text{\it{centr\'e}}}_{\,ij}((\rho\vect{u}),\vect{u})$\\
avec :&$\vect{u}_{\,f,ij}=
\alpha_{ij} \vect{u}_{\,I'}+(1-\alpha_{ij}) \vect{u}_{\,J'}$ et $\vect{u}_{K'} = \vect{u}_{K}+(\ggrad{\vect{u}})_K\text{.}\, \vect{KK'}$ pour ${K = I \,\text{ou}\, J}$\\
\multicolumn{2}{l}{$\bullet\ $un sch\'ema d\'ecentr\'e amont d'ordre 2 SOLU (Second Order Linear Upwind)~:}\\
&$\vect{F}_{\,ij}((\rho \vect{u}), \vect{u})=
\vect{F}^{\text{\it { SOLU}}}_{\,ij}((\rho \vect{u}),\vect{u})$ \\
\multicolumn{2}{l}{\begin {tabular}{lll}
avec :&$\vect{u}_{\,f,ij}=$&$
\vect{u}_{\,I} +\vect{IF}.\,(\ggrad\vect{u})_{\,I}$ \ si $(\rho
\vect{u})_{\,ij}.\vect{S}_{\,ij}\,\geqslant 0$\\
&&$\vect{u}_{\,J} + \vect{JF}.\,(\ggrad\vect{u})_J$  \ si $(\rho
\vect{u})_{\,ij}.\vect{S}_{\,ij}\,< 0$.
\end{tabular}}
\end{tabular}\\


La valeur de ${\vect{F}_{\,b_{ik}}}$ est calcul\'ee avec :\\
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
{\vect{u}_f}_{\,{b}_{ik}} &=\vect{u}_{\,I}
\ \text{si $(\rho \vect{u})_{\,{b}_{ik}}\,.\,\vect{S}_{\,{b}_{ik}}\,\geqslant 0$}\\
&={\vect{u}_{\,{b}_{ik}}}
\  \text{si $(\rho \vect{u})_{\,{b}_{ik}}\,.\, \vect{S}_{\,{b}_{ik}}\,< 0$}
\end{array}
\end{equation}

avec ${\vect{u}_{\ {b}_{ik}}}$ valeur au bord donn\'ee directement par les
conditions aux limites.\\

\noindent\minititre{Remarque 2}
En centr\'e, on \'ecrit en r\'ealit\'e (\'egalit\'e
conservant l'ordre un en espace) :

\begin{equation}\notag
\vect{u}_{\,f,ij} = \alpha_{ij} \vect{u}_{\,I} +  (1-\alpha_{ij})
\vect{u}_{\,J} +
\frac{1}{2}\left[(\ggrad{\vect{u}})_I+(\ggrad{\vect{u}})_J\right] \text{.}\, \vect{OF}
\end{equation}

pour des raisons de stabilit\'e purement num\'erique.\\
\minititre{Remarque 3 }
Un test de pente (qui peut introduire des non lin\'earit\'es dans l'op\'erateur
de convection) permet de
basculer entre un sch\'ema d'ordre deux et le sch\'ema d\'ecentr\'e amont
d'ordre un.
De plus, en mode standard, on utilise en tout point une valeur de
$\vect{\widetilde{u}}_{\,f,ij}$ issue d'une moyenne barycentrique entre la valeur
d\'ecentr\'ee amont et la valeur d'ordre 2 (blending, spécifié par l'utilisateur).
\paragraph{\bf Diffusion\\}
De m\^eme, les parties diffusives $\theta\,\,\dive(\mu\,\ggrad{\vect{\widetilde{u}}}^{n+1})$ et $(1-\theta)\,\,\dive(\mu \ggrad{\vect{u}}^{n})$ s'\'ecrivent :
\begin{equation}\notag
\int_{\Omega_i}{\dive(\mu\, \ggrad{\vect{u}}) d\Omega} =
\sum_{j\in Vois(i)}{\vect{D}_{\,ij}(\mu, \vect{u})}
+\sum_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{D}_{\,{b}_{ik}}(\mu,\vect{u})}
\end{equation}
avec~:
\begin{equation}
\vect{D}_{\,ij}(\mu, \vect{u}) = \mu_{ij}
\frac{\vect{u}_{\,J'}-\vect{u}_{\,I'}}{\overline{I'J'}} S_{\,ij}
\end{equation}
et :
\begin{equation}
\vect{D}_{\,b_{ik}}(\mu, \vect{u}) = \mu_{\,b_{ik}}
\frac{\vect{u}_{\,b_{ik}}-\vect{u}_{\,I'}}{\overline{I'F}} S_{\,b_{ik}}
\end{equation}
en conservant les notations pr\'ec\'edentes et avec
${\vect{u}_{\,{b}_{ik}}}$ la valeur au bord donn\'ee directement par les conditions aux limites.\\
La viscosit\'e $\mu_{\,ij}$ \`a la face est calcul\'ee \`a l'aide des valeurs
aux centres selon une fonction $f$ donn\'ee :
\begin{equation}\notag
\mu_{\,ij} = f(\mu_I,\mu_J)
\end{equation}
qui est, soit une moyenne arithm\'etique~:
\begin{equation}
f(\mu_I,\mu_J)= \frac{1}{2}(\mu_I+\mu_J)
\end{equation}
soit une moyenne g\'eom\'etrique~:
\begin{equation}
f(\mu_I,\mu_J) =\displaystyle \frac{\mu_I \mu_J}{\alpha_{\,ij}
\mu_I+(1-\alpha_{\,ij}) \mu_J}
\end{equation}
et la viscosit\'e $\mu_{\,b_{ik}}$ est \'egale \`a :
\begin{equation}
\mu_{\,b_{ik}}=\mu_I
\end{equation}
On introduit en outre, pour une utilisation ult\'erieure,
les notations suivantes~:
\begin{equation}
\vect{D}^{NRec}_{\,ij}(\mu, \vect{u}) = \mu_{\,ij}
\frac{\vect{u}_{\,J}-\vect{u}_{\,I}}{\overline{I'J'}} S_{\,ij}
\end{equation}
\begin{equation}
\vect{D}^{NRec}_{\,b_{ik}}(\mu, \vect{u}) = \mu_{\,b_{ik}}
\frac{\vect{u}_{\,b_{ik}}-\vect{u}_{\,I}}{\overline{I'F}} S_{\,b_{ik}}
\end{equation}

qui correspondent chacune \`a une valeur non reconstruite aux faces internes et de bord.

\paragraph{\bf R\'esolution\\}
Le syst\`eme (\ref{Base_Navsto_eq_prediction_continue}) pouvant comporter des non
lin\'earit\'es dues au recours au test de pente ou pouvant conduire {\it via} la
reconstruction  du gradient (cellule) \`a une matrice quasiment pleine en
pr\'esence de non orthogonalit\'es, on le r\'esout de mani\`ere it\'erative avec
la suite $(\vect{\widetilde{u}}^{n+1,k})_{k\in \grandN}$ d\'efinie par :
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\vect{\widetilde{u}}^{n+1,0} = \vect{u}^{n}\\
\vect{\widetilde{u}}^{n+1,k+1} = \vect{\widetilde{u}}^{n+1,k} + \delta\vect{\widetilde{u}}^{k+1}\\
\mathcal{EM}(\delta\vect{\widetilde{u}}^{k+1},I) = -\mathcal{E}(\vect{\widetilde{u}}^{n+1,k},I) \\
\end{array}\right.
\end{equation}
ce qui d\'efinit \'egalement la suite $(\delta\vect{\widetilde{u}}^{k+1})
_{k\in \grandN}$.\\
Les deux op\'erateurs $\mathcal{E}$ et $\mathcal{EM}$ ont pour expression respective~:
\begin{equation}\notag
\begin{array}{ll}\label{Base_Navsto_eq_pred_exacte}
\mathcal{E}(\vect{\widetilde{u}},I) &= \theta\, \mathcal{J}(\vect{\widetilde{u}},I)\,+\,(1-\theta)\,\mathcal{J}(\vect{u}^{n},I)\,+ |{\Omega_I}|\displaystyle\frac{\rho_I}{\Delta t}\,(\vect{\widetilde{u}}_{I}-\vect{u}^n_{I}) \\
& +\,|{\Omega_I}|\left[(\vect{TS})^{n+\theta_{S}}_I-(\grad{P})^{n-1+\theta}_I \, \right]\\
%-\theta\,(\tens{K}^{n})_{I}\,-\theta\,(\dive(\rho \vect{u}))_{I}\right)\,(\vect{\widetilde{u}_{I}}-\vect{u}^n)_I \\
&+\sum\limits_{j\in Vois(i)}{ \underbrace{\left((\,\mu\,\,^{t}\ggrad\vect{u})^{n+\theta_{S}}- \frac{2}{3}\,(\,\mu\, \dive\,\vect{u})^{n+\theta_{S}}\tens{Id}\right)_{ij}}_{\text{moyenne ou interpolation lin\'eaire entre
I' et J'}}\text{.}\,\vect{S}_{\,ij}}\\
&+\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}{ \underbrace{\left((\,\mu\,\,^{t}\ggrad\vect{u})^{n+\theta_{S}}- \frac{2}{3}\,(\,\mu\, \dive\,\vect{u})^{n+\theta_{S}}\tens{Id}\right)_{\,{b}_{ik}}}_\text{issu des conditions aux limites}\text{.}\,\vect{S}_{\,{b}_{ik}}}\\
&\\
\end{array}
\end{equation}
avec :
\begin{equation}\notag
\begin{array}{ll}
\mathcal{J}(\vect{v},I) & = |{\Omega_I}|\,\,[\tens{K}^{n}-\dive(\rho \vect{u})\,]_{I}\,\,\vect{v}_{I} \\
& + \left(\,\sum\limits_{j\in Vois(i)}{\vect{F}_{\,ij}((\rho\vect{u}),\vect{v})}
+\,\,\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{F}_{\,{b}_{ik}}((\rho \vect{u}),\vect{v})}\right)\\
&-\left(\,\sum\limits_{j\in Vois(i)}{\vect{D}_{\,ij}(\mu,\vect{v})}
+\,\,\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{D}_{\,{b}_{ik}}(\mu,\vect{v})}\right)\\
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}\notag
\begin{array}{ll}
\mathcal{EM}(\delta\vect{u},I) & =
|{\Omega_I}| \left( \displaystyle\frac{\rho_I}{\Delta t} +\theta\,[\tens{K}^{n}-\dive(\rho \vect{u})\,]_{I}\,\right)\,\delta\vect{u}_{I}\\
&+\theta\,\left(\,\sum\limits_{j\in Vois(i)}{\vect{F}^{\,amont}_{\,ij}((\rho\vect{u}),\delta\vect{u})}
+\,\,\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{F}^{\,amont}_{\,{b}_{ik}}((\rho \vect{u}),\delta\vect{u})}\right)\\
&-\theta\,\left(\,\sum\limits_{j\in Vois(i)}{\vect{D}^{NRec}_{\,ij}(\mu,\delta\vect{u})}
+\,\,\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{D}^{NRec}_{\,{b}_{ik}}(\mu,\delta\vect{u})}\right)\\
\end{array}
\end{equation}


De plus, on suppose que cette suite  $(\vect{\widetilde{u}}^{n+1,k})_{k\in \grandN}$
converge %(au sens de la norme L2 discr\`ete) vers la bonne solution
vers $\vect{\widetilde{u}}^{n+1}$.\\

\minititre{Remarque 4}
Les conditions aux limites associ\'ees aux op\'erateurs $\mathcal{E}$ et
$\mathcal{EM}$ du syst\`eme (\ref{Base_Navsto_eq_pred_exacte}) sont celles portant sur la
vitesse $\vect{u}$. Elles sont de type Dirichlet homog\`ene ou de type Neumann
homog\`ene sur $\delta\vect{u}$ si $\vect{u}$ a une condition de type Dirichlet
ou de type Neumann respectivement. Elles sont mixtes dans le cas d'une condition
de sym\'etrie sur une face en biais par rapport aux axes.

\minititre{Remarque 5}
Les deux premi\`eres sommes de type $(\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}})$,
{\it i.e.} comportant les termes en $\vect{F}_{\,{b}_{ik}}((\rho \vect{u}),\vect{u})$ et $\vect{D}_{\,{b}_{ik}}(\mu,\vect{u})$, utilisent les conditions aux limites de la vitesse.\\
Le  terme volumique  :
\begin{equation}\notag
\sum\limits_{j\in Vois(i)}{ \underbrace{\left((\,\mu\,\,^{t}\ggrad\vect{u})^{n+\theta_{S}}- \frac{2}{3}\,(\,\mu\, \dive\,\vect{u})^{n+\theta_{S}}\tens{Id}\right)_{ij}}_{\text{moyenne ou interpolation lin\'eaire entre
I' et J'}}\text{.}\,\vect{S}_{\,ij}}\\
\end{equation}
de terme de bord associ\'e :
\begin{equation}\notag
\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}{ \underbrace{\left((\,\mu\,\,^{t}\ggrad\vect{u})^{n+\theta_{S}}- \frac{2}{3}\,(\,\mu\, \dive\,\vect{u})^{n+\theta_{S}}\tens{Id}\right)_{\,{b}_{ik}}}_\text{issu des conditions aux limites}\text{.}\,\vect{S}_{\,{b}_{ik}}}
\end{equation}
a un traitement particulier. En effet, pour une cellule $\Omega_i$ jouxtant le
bord, la contribution du premier terme (en gradient transpos\'e) est annul\'ee, aucune condition \`a la limite correcte ne lui \'etant attribu\'ee pour le moment.

\minititre{Remarque 6}
L'op\'erateur $\mathcal{EM}$ approche $\mathcal{E}$ (aucun terme n'est
reconstruit et la partie convective est trait\'ee syst\'ematiquement en sch\'ema
d\'ecentr\'e amont). Ceci peut g\'en\'erer des
impr\'ecisions num\'eriques non n\'egligeables si la suite
$(\vect{\widetilde{u}}^{n+1,k})_{k\in \grandN}$ n'a pas converg\'e.

\subsubsection{\bf \'Etape de correction de la pression}
En prenant la divergence de la premi\`ere \'equation du syst\`eme
(\ref{Base_Navsto_eq_correction_continue}), on obtient~:
\begin{equation}
\dive\left[(\rho\vect{u})^{n+1}-(\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}\right]
=\dive(-\Delta t\, \grad  \delta P^{n+\theta}) \\
\end{equation}

En utilisant la contrainte stationnaire $\dive(\rho\vect{u})^{n+1}=\Gamma$,
on a donc~:

\begin{equation}
\dive(\Delta t\, \grad\ \delta P^{n+\theta})=\dive((\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1})-\Gamma
\end{equation}

soit :
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\dive(\Delta t\, \grad\ \delta P^{n+\theta})=\dive((\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1})-\Gamma\\
(\rho\vect{u})^{n+1} = (\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}-\Delta t\, \grad \delta P^{n+\theta}
\end{array}\right.
\end{equation}
et :
\begin{equation}
\label{Base_Navsto_corrvit}
\vect{u}^{n+1} = \vect{\widetilde{u}}^{n+1}-\frac{\Delta t}{\rho}\, \grad\delta
P^{n+\theta}
\end{equation}

En int\'egrant sur une cellule :
\begin{equation}
\int_{\Omega_i}{\dive(\Delta t \grad\ \delta P^{n+\theta})\, d\Omega} =
\sum\limits_{j\in Vois(i)}{\vect{D}_{\,ij}(\Delta t, \delta P^{n+\theta})}
+\sum_{k\in {\gamma_b(i)}} {\vect{D}_{\,{b}_{ik}}(\Delta t, \delta P^{n+\theta})}
\label{Base_Navsto_eq_correction_discrete}
\end{equation}
et :
\begin{equation}
\int_{\Omega_i}{\dive(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}  d\Omega} =
\sum_{j\in Vois{(i)}}{\left[ (\rho
\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{ij}\text{.}\,\vect{S}_{ij}\right]}
+\sum_{k\in {\gamma_b(i)}} \left[{(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}} \text{.}\, \vect{S}_{\,{b}_{ik}}\right]
\end{equation}
On utilise le m\^eme formalisme que pr\'ec\'edemment pour l'int\'egration du
terme de diffusion de l'\'etape de pr\'ediction. Les conditions aux limites sont
de type Dirichlet homog\`ene ou de type Neumann homog\`ene sur $\delta P$ si $P$ a une condition de
type Dirichlet ou de type Neumann respectivement.

\paragraph{\bf Calcul du second membre de l'\'equation portant sur l'incr\'ement
de pression.\\\\ }

La discr\'etisation de $\sum\limits_{j\in Vois{(i)}}{\left[ (\rho
\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{ij}\text{.}\,\vect{S}_{\,ij}\right]} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} \left[{(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}} \text{.}\, \vect{S}_{\,{b}_{ik}}\right]$ est particuli\`ere. Le
choix suivant not\'e $\left[{\ \ }\right]^{Init}$, pour une cellule ne touchant pas
le bord par exemple, est insatisfaisant avec la discr\'etisation et le sch\'ema utilis\'es ici, en particulier avec l'\'equation
(\ref{Base_Navsto_corrvit}) :\\
\begin{equation}
(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}.\,\vect{S}_{\,ij}=
\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}.\,\vect{S}_{\,ij}\right]^{Init}=
\left[\alpha_{ij} (\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,I'} +
(1-\alpha_{ij}) (\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,J'}\right].\,\vect{S}_{\,ij}
\end{equation}

Tout comme pour le calcul du flux num\'erique en centr\'e, on
utilise de fa\c con licite l'approximation suivante :
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}&=
\alpha_{ij} \rho_{I} \vect{\widetilde{u}}^{n+1}_{\,I} +
(1-\alpha_{ij}) \rho_{J} \vect{\widetilde{u}}^{n+1}_{\,J}\\
&+\displaystyle \frac{1}{2}\left[(\ggrad{(\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}})_I
+ (\ggrad{(\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}})_J\right]\text{.}\, \vect{OF}
\end{array}
\end{equation}
mais ce n'est pas elle qui pose probl\`eme.\\\\
En fait, $ \left[(\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}\right]^{Init}$ contient le terme
$\vect{G}^{\,n}_{\,cel,ij}$, h\'erit\'e de l'\'etape de pr\'ediction, qui vaut :\\
\begin{equation}\notag
\vect{G}^{\,n-1+\theta}_{\,cel,ij}=\alpha_{\,ij}\, \grad{P}^{\,n-1+\theta}_{I'} +
(1-\alpha_{\,ij})\, \grad{P}^{\,n-1+\theta}_{J'}
\end{equation}

Or, sur un maillage orthogonal r\'egulier cart\'esien, \`a partir d'une
vitesse $\vect{\widetilde{u}}^{n+1}=\vect{0}$
et d'une pression $P^{\,n-1+\theta}_I=(-1)^{I}$, on
obtient $\vect{G}^{\,n-1+\theta}_{\,cel,ij}=0$ d'o\`u $\delta P^{n+\theta}=0$~:
l'irr\'egularit\'e initiale de pression ne peut donc jamais \^etre
corrig\'ee.

Pour rem\'edier \`a cela, on modifie l'\'ecriture $\left[{\ \ }\right]^{Init}$
de $(\rho
\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}$ et de $(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}$ en
adoptant la valeur  $\left[{\ \ }\right]^{Corr}$  :
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}.\ \vect{S}_{\,ij}&=
\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}\right]^{Corr}.\ \vect{S}_{\,ij}\\
&= \left(\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}-\beta(-\Delta t \grad P^{n-1+\theta})\right]^{Init}_{\,ij}
+\beta\ (-\vect{D}_{\,ij}(\Delta t, P^{n-1+\theta}))\right).\ \vect{S}_{\,ij}
\end{array}
\end{equation}
et,
pour les conditions aux limites d'entr\'ee, de sym\'etrie (quelconque) ou de
paroi :
\begin{equation}\notag
(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}.\ \vect{S}_{\,b_{ik}}=\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}\right]^{Corr}.\ \vect{S}_{\,b_{ik}}=
\rho _{\,{b}_{ik}}\vect{u}^{n+1}_{\,{b}_{ik}}.\ \vect{S}_{\,b_{ik}}
\end{equation}

pour les conditions aux limites de sortie :
\begin{equation}\notag
\begin{array}{ll}
(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}.\ \vect{S}_{\,b_{ik}}& =
\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,{b}_{ik}}\right]^{Corr}.\vect{S}_{\,b_{ik}}
\\&= \left( \left[\rho _{\,{b}_{ik}}\vect{u}^{n+1}_{\,{b}_{ik}}-\beta(-\Delta t
\grad P^{n-1+\theta})_{I'}\right]+\beta\ (-\vect{D}_{\,{b}_{ik}}(\Delta t,
P^{n-1+\theta}))\right).\ \vect{S}_{\,b_{ik}}
\end{array}
\end{equation}

$\beta$ est appel\'e coefficient d'Arakawa. Lorsqu'il vaut 1 (valeur par
d\'efaut), il s'agit du filtre  Rhie~\&~Chow.


\minititre{Remarque 7}
On peut g\'en\'eraliser cette d\'emarche \`a d'autres
termes sources du m\^eme type, par exemple pour le mod\`ele
$R_{ij}-\varepsilon$.
%{\it  i.e.} comportant la quantit\'e
%$\vect{G}^{\,n}_{\,cel,ij}$.\\

\paragraph{\bf R\'esolution\\}
On construit une suite $(\delta P^{n+1,k})_{k\in \grandN}$ pour r\'esoudre
l'\'equation (\ref{Base_Navsto_eq_correction_discrete}), qui peut conduire {\it via} la
reconstruction  du gradient cellule \`a une matrice quasiment pleine en
pr\'esence de non orthogonalit\'es, d\'efinie par :
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\delta P^{n+\theta,0} = 0\\
\delta P^{n+\theta,k+1} = \delta P^{n+\theta,k} + C_{relax} \delta (\delta P)^{n+\theta,k+1}\\
\mathcal{FM}(\delta(\delta P)^{n+\theta,k+1},I) = \mathcal{F}(\delta P^{n+\theta,k},I) \\\end{array}\right.
\end{equation}\\
ce qui d\'efinit \'egalement la suite $({\delta(\delta P)^{n+\theta,k+1}})_{k\in
\grandN}$.\\
Les op\'erateurs $\mathcal{F}$ et $\mathcal{FM}$ ont pour expression :
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\mathcal{F}(\delta P,I) &=
 \sum\limits_{j\in Vois(i)}{\left[\vect{D}_{\,ij}(\Delta t,\delta
P)-\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}\right]^{Corr}\right]}\\
&+\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} {\left[\vect{D}_{\,{b}_{ik}}(\Delta
t^n,\delta P)-\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,b_{ik}}\right]^{Corr}\right]\,+\,\Gamma}  \end{array}
\end{equation}

et :
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\mathcal{FM}(\delta (\delta P),I) =
 \sum\limits_{j\in Vois(i)}{\left[-\vect{D}^{NRec}_{\,ij}(\Delta t,\delta
(\delta P))\right]} +\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}
\left[-\vect{D}^{NRec}_{\,{b}_{ik}}(\Delta t,\delta(\delta P))\right]
\end{array}
\end{equation}

respectivement.\\
$C_{relax}$ est un coefficient de relaxation donn\'e et fix\'e \`a 1 en standard.
On suppose que la suite $(\delta P^{n+\theta,k})_{k\in \grandN}$
converge
%(au sens de la norme L2 discr\`ete) vers la bonne solution
vers $\delta P^{n+\theta}$.

Au fur et à mesure des itérations, le flux de masse est mis à jour, en utilisant $\delta(\delta P)$. \`A convergence, le flux de masse actualisé obtenu est :
\begin{equation}
(\rho \vect{u})^{n+1}_{\,ij}\text{.}\vect{S}_{\,ij} =
\left[(\rho
\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}\right]^{Corr}\text{.}\,\vect{S}_{\,ij}-\vect{D}_{\,ij}(\Delta
t^n,\delta P^{n+\theta})
\end{equation}
et on calcule le nouveau champ de vitesse au centre des cellules gr\^ace \`a l'\'egalit\'e :
%
% et en fait c'est chiant parcque on ne peut pas ecrire ca justement
% a cause de Arak !
%\begin{equation}
%\vect{u}^{n+1} =
%\frac{\rho^{n+1/2}}{\rho^{n+1}}\vect{u}^{n+1/2}
%-\frac{\Delta t}{\rho^{n+1}}\grad \,\delta P^{n+1}
%\end{equation}
\begin{equation}
\vect{u}^{n+1} =
\vect{\widetilde{u}}^{n+1}-\frac{\Delta t}{\rho}\grad \,\delta P^{n+\theta}
\end{equation}
%
\minititre{Remarque 8}
Un traitement sp\'ecifique permet d'assurer que la conservation de la masse portant sur le bilan des flux
de masse aux faces est toujours parfaitement v\'erifi\'ee \`a l'issue de
l'\'etape de correction, que la suite $(\delta P^{n+\theta,k+1})_{k\in \grandN}$ ait
ou non atteint la convergence.
En effet, $\delta P^{n+\theta,k_{fin}+1}$,
dernier terme \'evalu\'e de la suite, est donn\'e par :

\begin{equation}\label{resol_pression_derniere_it}
\mathcal{FM}(\delta(\delta P)^{n+\theta,k_{fin}+1},I) = \mathcal{F}(\delta P^{n+\theta,k_{fin}},I)
\end{equation}
Au lieu de r\'eactualiser classiquement le flux de masse, on le calcule comme
suit :
\begin{equation}\notag
(\rho \vect{u})^{n+1}_{\,ij}\text{.}\ \vect{S}_{\,ij} =
\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}\right]^{Corr}\text{.}\,\vect{S}_{\,ij}
-\vect{D}_{\,ij}(\Delta t,\delta P^{n+\theta,k_{fin}})
-\vect{D}^{NRec}_{\,ij}(\Delta t,\delta (\delta P)^{n+\theta,k_{fin}+1})
\end{equation}
et :
\begin{equation}\notag
(\rho \vect{u})^{n+1}_{\,b_{ik}}\text{.}\ \vect{S}_{\,b_{ik}} =
\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,b_{ik}}\right]^{Corr}\text{.}\,\vect{S}_{\,b_{ik}}
-\vect{D}_{\,b_{ik}}(\Delta t,\delta P^{n+\theta,k_{fin}})
-\vect{D}^{NRec}_{\,b_{ik}}(\Delta t,\delta (\delta P)^{n+\theta,k_{fin}+1})
\end{equation}

ce qui conduit bien \`a~:
\begin{equation}\notag
\begin{array}{ll}
\multicolumn{2}{l}{\sum\limits_{j\in Vois(i)}(\rho
\vect{u})^{n+1}_{\,ij}\text{.}\ \vect{S}_{\,ij}
+\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}(\rho\vect{u})^{n+1}_{\,b_{ik}}.\
\vect{S}_{\,b_{ik}}}\\
\hspace*{2cm}=&
\sum\limits_{j\in Vois(i)}{\left[(\rho \vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,ij}\right]^{Corr}.\,
\vect{S}_{\,ij}}
+ \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\left[(\rho\vect{\widetilde{u}})^{n+1}_{\,b_{ik}}\right]^{Corr}\text{.}\,\vect{S}_{\,b_{ik}} \\
\hspace*{2cm}-&\sum\limits_{j\in Vois(i)}
\vect{D}_{\,ij}(\Delta t,\delta P^{n+\theta,k_{fin}})
-\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\vect{D}_{\,b_{ik}}(\Delta t,\delta
P^{n+\theta,k_{fin}})\\
\hspace*{2cm}-&{\sum\limits_{j\in Vois(i)}\vect{D}^{NRec}_{\,ij}(\Delta t,\delta (\delta
P)^{n+\theta,k_{fin}+1})}
-\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\vect{D}^{NRec}_{\,b_{ik}}(\Delta t,\delta
(\delta P)^{n+\theta,k_{fin}+1})
\end{array}
\end{equation}


soit :
\begin{equation}\notag
\sum\limits_{j\in Vois(i)}(\rho \vect{u})^{n+1}_{\,ij}\text{.}\vect{S}_{\,ij}
+\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}(\rho\vect{u})^{n+1}_{\,b_{ik}}.\
\vect{S}_{\,b_{ik}}= -\mathcal{F}(\delta
P^{n+\theta,k_{fin}},I)+\mathcal{FM}(\delta(\delta P)^{n+\theta,k_{fin}+1},I) + \Gamma
\end{equation}

et donc :
\begin{equation}\notag
\int_{\Omega_i}{\dive(\rho \vect{u})^{n+1}  d\Omega} = \Gamma
\end{equation}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Mise en \oe uvre}
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On se reportera aux sections relatives aux sous-programmes
\fort{Preduv} (pr\'ediction des vitesses) et \fort{Resolp}
(correction de pression). Pour la reconstruction des vitesses
par moindres carr\'es \`a partir des flux de masse aux faces, on
pourra voir \fort{Recvmc}.
