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\programme{vissec}
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\vspace{1cm}
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\section{Fonction}
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Dans ce sous-programme sont calcul\'es les termes de gradient transposé et de viscosité
secondaire (fluide newtonien). Ils seront traités en explicite
pur. En effet, si on traitait ces termes en implicite, cela reviendrait
à coupler les équations des différentes composantes de la vitesse, ce qui n'est
pas compatible avec le sch\'ema de r\'esolution actuel ({\it cf. } sous-programme \fort{navsto}).

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\section{Discr\'etisation}
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L'intégration des termes de gradient transposé
 $\dive\,(\mu_{\,tot}\,^t\,\ggrad(\underline{v}))$ et de viscosité
secondaire \\
$-\displaystyle \frac{2}{3}\,\grad (\mu_{\,tot}\,\dive(\underline{v}))$ est la suivante\footnote{la viscosité de volume
$\kappa$ est supposée nulle, cf. \fort{navsto}} :
\begin{equation}\notag
\begin{array}{llll}
&\displaystyle \int_{\Omega_i}\dive (\mu_{\,tot}
\,^t\,\ggrad(\underline{v})\,)\,d\Omega \\
&= \sum\limits_{l=x,y,z}\left[ \sum\limits_{j \in
Vois(i)} \mu_{\,tot,ij} ((\displaystyle \frac {\partial v_x}{\partial
l})_{\,moy,ij}\,n_{\,ij}^{\,x} +(\frac {\partial v_y}
 {\partial l})_{\,moy,ij}\,n_{\,ij}^{\,y}+ \displaystyle(\frac {\partial v_z}
{\partial l})_{\,moy,ij}\,n_{\,ij}^{\,z}) S_{\,ij}\right.\\
&+\left.\displaystyle \sum\limits_{k \in \gamma_b(i)} \mu_{\,tot,\,b_{ik}}
((\frac {\partial v_x}{\partial l})_{\,moy,\,b_{ik}}\,n_{\,b_{ik}}^{\,x} +(\frac
{\partial v_y}{\partial l})_{\,moy,\,b_{ik}}\,n_{\,b_{ik}}^{\,y}+
\displaystyle(\frac {\partial v_z}{\partial
l})_{\,moy,\,b_{ik}}\,n_{\,b_{ik}}^{\,z}) S_{\,b_{ik}}\right] \underline
{e}_{\,l} \\\\
&-\displaystyle \frac{2}{3}\,\int_{\Omega_i}\grad (\mu_{\,tot} \dive\,(\underline{v}))
\,d\Omega \\
&= -\displaystyle \frac{2}{3}\,\sum\limits_{l=x,y,z}\left[\sum\limits_{j \in Vois(i)}(\mu_{\,tot}\,\dive(\underline{v}))_{\,ij} S_{\,ij}^{\,l} + \displaystyle \sum_{k \in \gamma_b(i)}(\mu_{\,tot}\,\dive(\underline{v}))_{\,b_{ik}} S_{\,b_{ik}}^{\,l}\right]\,\underline {e}_{\,l}
\end{array}
\end{equation}
Le terme de viscosité $\mu_{\,tot}$ est calculé en fonction du modèle de turbulence utilisé :
\begin{equation}\notag
\mu_{\,tot}=
\begin{cases}
\mu + \mu_t & \text{pour les modèles à viscosité turbulente ou en LES}, \\
\mu& \text{pour les modèles au second ordre ou en laminaire}.
\end{cases}
\end{equation}
où $\mu$ et $\mu_t$ repr\'esentent respectivement la viscosit\'e dynamique moléculaire et la viscosité dynamique turbulente.

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\section{Mise en \oe uvre}
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\subsection{Terme de gradient transposé}
Avant de calculer l'intégration des deux termes, on calcule dans un premier
temps la viscosité totale en fonction du modèle de turbulence considéré.\\
Les termes calculés dans ce sous-programme, appelé par \fort{preduv}, interviennent dans le second membre
de l'équation de quantité de mouvement, et sont donc directement stockés dans le
tableau correspondant  \var{TRAV}.\\
Le terme $\dive\,(\mu_{\,tot}\,^t\ggrad(\underline{v}))$ est calculé en
opérant comme suit.\\
On effectue une boucle sur les composantes $v_\alpha$ où $\alpha=x,y,z$ de la
vitesse ($\alpha$ correspond à \var{ISOU} dans le code) :
\begin{itemize}
\item on calcule le gradient cellule de $v_{\,\alpha}$ par un appel au
sous-programme \fort{grdcel}.
\item on initialise un tableau nommé $\var{W}_6$ à la valeur $1$ pour les cellules
internes, et à la valeur $0$ pour les cellules de bord. Ce tableau sert par la suite à ne
pas considérer la contribution du terme de gradient transposé sur les cellules
de bord. En effet, on ne sait pas \'ecrire de conditions aux limites correctes
pour le gradient transpos\'e. On pr\'ef\`ere donc tout simplement annuler son
effet sur les cellules de bord (\emph{cf.} paragraphe \ref{Base_Vissec_paragraphe4}).
\item pour chaque direction $l$ ($l=x,y,z$), $l$ correspondant à \var{IDIM}
dans le code, on calcule pour chaque cellule $\Omega_i$ dont le centre
correspond à la variable \var{II} ou
\var{JJ} (pour les centres voisins) dans le code :\\
\begin{equation}\notag
\begin{array}{ll}
&\var{TRAV}(i,l)=\var{TRAV}(i,l)\\
&+\var{W}_6(i)\ \left[\displaystyle \sum\limits_{j \in
Vois(i)} \mu_{\,tot,\,ij}\,(\frac {\partial v_{\,\alpha}}{\partial l}
)_{\,moy,ij}\,S_{\,ij}^{\,\alpha}\  +  \displaystyle \sum_{k \in
\gamma_b(i)} \mu_{\,tot,\, {b_{\,ik}}}\,(\frac {\partial v_{\,\alpha}}{\partial
l})_{\,moy,{b_{\,ik}}}\,S_{\,{b_{\,ik}}}^{\,\alpha}\ \right]\\
&\displaystyle\text{avec }
(\frac{\partial v_{\,\alpha}}{\partial l})_{\,moy,ij}=\frac{1}{2}\left[
(\frac{\partial v_{\,\alpha}}{\partial l})_i
+(\frac{\partial v_{\,\alpha}}{\partial l})_j\right]
\end{array}
\end{equation}
\end{itemize}
Fin de la boucle sur les composantes de la vitesse.\\
\\
\subsection{Terme de viscosité secondaire}
Le terme de seconde viscosité
 $-\displaystyle \frac{2}{3}\grad (\mu_{\,tot} \dive\,(\underline{v}))$
 est calculé de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item on calcule la valeur de la vitesse sur la face $ij$ en divisant le flux
masse connu à la face par la densité moyenne $\rho_{\,moy,\,ij}$ de la face
($\rho_{\,moy,\,ij}=\displaystyle \frac{\rho_{\,i}+\rho_{\,j}}{2}$).
\item on calcule ensuite l'intégrale volumique de la divergence de la vitesse sur chaque cellule en appelant le sous-programme
\fort{divmas}.
\item on calcule alors pour chaque cellule $\Omega_i$ le terme $-\displaystyle
\frac{2}{3}(\mu_{\,tot}\,\dive(\underline{v}))_{\,i}$ que l'on met dans le
tableau de travail $\var{W}_4$. La valeur de ce terme sur la face interne $ij$
 est obtenue en prenant la moyenne arithmétique des valeurs des deux cellules
avoisinantes (tableau \var{VISCF}) et celle sur la face de bord est prise égale
la valeur de la cellule avoisinante (tableau \var{VISCB}).
\item on calcule alors pour chaque direction $l$ le terme final,
\emph{i.e.} :\\
\begin{equation}\notag
\var{TRAV}(i,l)= \var{TRAV}(i,l)-\displaystyle \frac{2}{3}\left[\sum\limits_{j \in Vois(i)} (\mu_{\,tot}\,\dive(\underline{v}))_{\,moy,\,ij}\ S_{\,ij}^{\,l}
+\sum\limits_{k \in \gamma_b(i)} (\mu_{\,tot}
\dive\,(\underline{v}))_{\,moy,{b_{\,ik}}}\  S_{\,b_{ik}}^{\,l}\right]
\end{equation}
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
Le traitement est similaire pour le terme de viscosité de volume dans le module compressible.

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\section{Points \`a traiter} \label{Base_Vissec_paragraphe4}
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L'intégration du terme de gradient transposé pose un problème de compatibilité.
En effet, le gradient transposé provient de l'écriture de la divergence
du tenseur des contraintes (\emph{cf.} \fort{preduv}), soit :
\begin{equation}\notag
\dive\,(\tens{\sigma}) = \dive\,(- p \tens{Id} + \tens{\tau })
\end{equation}
où :
\begin{equation}\notag
\tens{\tau} = 2 \mu\ [\underbrace{\displaystyle \frac{1}{2}\,(\ggrad \underline
{v}\ +\ ^t\ggrad \underline {v})}_{\text{partie 1}} -\underbrace{\displaystyle \frac{2}{3}\,tr(\,\frac{1}{2}\,(\ggrad \underline
{v}\ +\ ^t\ggrad \underline {v}))\ \tens {Id}\ }_{\text{partie 2}}]
\end{equation}
Or, lorsque l'on intègre la première partie de la divergence de
$\tens{\tau}$, on implicite le terme $\dive\,(\mu\,\ggrad \underline{v})$ et on
explicite le gradient transposé $\dive\,(\mu ^t\ggrad \underline{v})$.
 Ce traitement fait intervenir la vitesse au centre des cellules. Elle ne
vérifie pas exactement la condition $\dive\,(\rho \underline{v})\,=\,0$. En
effet, au cours de l'étape de correction, on utilise un filtre Rhie et Chow
(\emph{cf.} \fort{resolp}) et la vitesse n'est mise à jour qu'à la fin de
l'étape. Par contre, lorsque l'on intègre la deuxième partie de
la divergence de $\tens{\tau}$ de façon explicite, on utilise
la vitesse issue du flux masse aux faces qui vérifie la condition $\dive\,(\rho
\underline{v})\,=\,0$ (du moins à $\rho$ constant, l'interpolation de $\rho$ à
la face étant également un point à considérer). Ainsi, la discrétisation de ces
deux parties n'est pas totalement cohérente. Il serait utile de baser la
discrétisation de ces termes sur une vitesse vérifiant la contrainte
$\dive\,(\rho \underline{v})\,=\,0$.\\
Pour la même raison, il est difficile de connaître les conditions aux limites du
terme en gradient transposé. Sur les cellules de bord, on sait uniquement que la
contrainte totale normale doit équilibrer le frottement et toutes les autres
forces. Or, le tenseur des contraintes est scindé en une partie explicite et une partie implicite, donc c'est un peu difficile d'utiliser cette condition physique.\\
Actuellement, la contribution aux cellules de bord du terme de gradient transposé est
annulée, ce qui élimine l'influence des conditions aux limites mais n'est naturellement pas satisfaisant. Quelques essais d'intégration des conditions aux limites pour ce terme n'ont pas été concluants jusqu'à présent. Cependant, des essais supplémentaires
sont envisageables.
